Cờ vua hay cờ tướng phức tạp hơn? Hai con số cho hai đáp án ngược nhau

"Cờ tướng phức tạp hơn cờ vua, bàn cờ to hơn hẳn!" — câu nói này xuất hiện trong gần như mọi cuộc tranh luận giữa người chơi hai môn cờ. Nghe có vẻ hiển nhiên: bàn cờ tướng có 90 giao điểm, bàn cờ vua chỉ có 64 ô. Nhưng khi các nhà khoa học máy tính thật sự ngồi xuống đếm, họ thu về hai con số nổi tiếng nhất của hai môn cờ — và hai con số đó lại chỉ về hai hướng ngược nhau. Bài này lật từng con số ra xem chúng đo cái gì, và vì sao câu hỏi "môn nào phức tạp hơn" không có một đáp án duy nhất.

Thế xuất phát cờ vua: 64 ô, 32 quân — điểm khởi đầu của khoảng 10¹²⁰ ván cờ có thể xảy ra.

Đo độ phức tạp bằng cách nào?

Giới khoa học máy tính dùng hai thước đo chính. Không gian trạng thái là tổng số thế cờ hợp lệ có thể xuất hiện trên bàn — tức "có bao nhiêu hình cờ khác nhau". Cây trò chơi là tổng số ván cờ có thể diễn ra từ đầu đến cuối — tức "có bao nhiêu kịch bản khác nhau". Cây trò chơi được ước tính bằng một phép tính đơn giản đến bất ngờ: lấy hệ số rẽ nhánh (số nước đi hợp lệ trung bình tại một thế cờ) lũy thừa với độ dài ván cờ trung bình tính bằng nước nửa (mỗi nước của một người chơi là một nước nửa).

Chỉ số	Cờ vua	Cờ tướng
Bàn cờ	64 ô	90 giao điểm
Số quân mỗi bên	16	16
Hệ số rẽ nhánh trung bình	~35	~38
Độ dài ván trung bình	~80 nước nửa	~95 nước nửa
Không gian trạng thái	~1044–1050	~1040–1048
Cây trò chơi	~10120–10123	~10150

Cây trò chơi: cờ tướng lớn hơn — nhưng không phải vì bàn cờ to

Năm 1950, Claude Shannon — cha đẻ của lý thuyết thông tin — ước tính cờ vua có khoảng 10¹²⁰ ván có thể xảy ra: mỗi thế cờ có trung bình ~35 nước đi, một ván kéo dài ~40 nước cho mỗi bên, và 35 lũy thừa 80 cho ra con số mà ngày nay mang tên ông, "số Shannon". Để hình dung: số nguyên tử trong vũ trụ quan sát được chỉ khoảng 10⁸⁰. Các tinh chỉnh sau này (Victor Allis, 1994) nâng ước tính lên ~10¹²³, nhưng bậc độ lớn không đổi.

Với cờ tướng, nhóm nghiên cứu Yen, Chen, Yang và Hsu (tạp chí ICGA Journal, 2004) ước tính cây trò chơi vào khoảng 10¹⁵⁰ — lớn hơn cờ vua hàng chục bậc độ lớn. Nhưng hãy nhìn kỹ hai thành phần tạo nên nó: hệ số rẽ nhánh của cờ tướng là ~38, chỉ nhỉnh hơn một chút so với ~35 của cờ vua; còn độ dài ván trung bình là ~95 nước nửa so với ~80. Nói cách khác, cây trò chơi của cờ tướng phình to chủ yếu vì ván cờ tướng kéo dài hơn, chứ không phải vì mỗi nước đi có nhiều lựa chọn hơn hẳn, và càng không phải đơn thuần vì bàn cờ nhiều điểm hơn.

Thế xuất phát cờ tướng: 90 giao điểm, nhưng Tướng, Sĩ và Tượng bị giam trong những vùng rất hẹp của bàn cờ.

Không gian trạng thái: nơi cờ vua có thể vượt lên

Đến chỉ số thứ hai, cán cân nghiêng ngược lại. Số thế cờ hợp lệ của cờ vua được ước tính trong khoảng 10⁴⁴ đến 10⁵⁰ tùy phương pháp; một dự án đếm nghiêm ngặt của John Tromp và Peter Österlund (2024) cho con số ≈ 4,8 × 10⁴⁴. Với cờ tướng, các ước tính dao động còn mạnh hơn: bảng của nhóm Yen và cộng sự ghi ~10⁴⁸, trong khi một số bảng tổng hợp khác chỉ ghi ~10⁴⁰. Cần nói thẳng: không gian trạng thái của cờ tướng là con số chưa được thống nhất giữa các nhà nghiên cứu, và ở chỉ số này, cờ vua hoàn toàn có thể ngang bằng hoặc lớn hơn.

Vì sao bàn cờ "to hơn" lại không sinh ra nhiều thế cờ hơn tương ứng? Vì nửa số quân cờ tướng bị khóa trong những vùng rất hẹp. Tướng suốt đời chỉ đi lại trong "cung" 3×3 — 9 điểm. Sĩ chỉ tới được đúng 5 điểm trong cung. Tượng chỉ tới được 7 điểm và không bao giờ qua sông. Tốt chưa qua sông chỉ biết đi thẳng. Trong khi đó ở cờ vua, mọi quân đều có thể đặt chân tới gần như mọi ô trên bàn, và một quân Tốt phong cấp còn biến thành quân mới. Diện tích bàn cờ là con số đánh lừa: thứ quyết định số thế cờ là tự do di chuyển của các quân, không phải số điểm trên bàn.

Luật chơi: bàn tay vô hình nén và kéo cây trò chơi

Các con số trên cũng chưa kể hết câu chuyện, vì luật hòa/thua của hai môn kéo độ phức tạp thực tế về hai phía khác nhau. Ở cờ vua, một bên bị "bí" (pat — không còn nước hợp lệ nhưng Vua không bị chiếu) thì ván cờ hòa; thêm luật lặp lại thế cờ 3 lần và luật 50 nước, cờ vua có nhiều "cửa thoát hòa". Ở cờ tướng, hết nước đi là thua — không có cửa pat; luật quốc tế còn cấm chiếu đuổi liên tục: bên cứ chiếu hoặc đuổi mãi một quân mà không biến nước sẽ bị xử thua. Những luật này cắt bỏ rất nhiều nhánh lặp vô tận khỏi cây trò chơi thực tế của cờ tướng và khiến ván cờ dễ phân thắng bại hơn.

Ngược lại, cờ tướng có những cơ chế mà cờ vua không hề có: Pháo muốn ăn quân phải nhảy qua đúng một "ngòi"; hai Tướng không được nhìn thẳng mặt nhau qua một cột trống. Cờ vua đáp lại bằng nhập thành, bắt tốt qua đường và phong cấp — những luật "ngoại lệ" làm mỗi ván cờ thêm những ngã rẽ mà đối thủ phải thuộc nằm lòng. Mỗi môn tự làm mình phức tạp theo cách riêng, và không cây số nào ghi lại được hết những khác biệt đó.

Vậy rốt cuộc môn nào khó hơn?

Đây là lúc cần phân biệt ba câu hỏi khác nhau mà người ta thường gộp làm một. Môn nào có nhiều ván cờ khả thi hơn? — cờ tướng, nhờ ván cờ dài hơn. Môn nào có nhiều thế cờ hợp lệ hơn? — chưa ngã ngũ, cờ vua có thể nhỉnh hơn. Môn nào khó hơn với người học? — không con số nào trả lời thay bạn được: độ khó với con người nằm ở trực giác phải rèn, ở kho lý thuyết khai cuộc phải học, ở rào cản tiếp cận (quân cờ tướng là chữ Hán, quân cờ vua là hình tượng), chứ không nằm trong lũy thừa.

Có một điểm chung chắc chắn: cả hai môn đều xa vời vượt khỏi khả năng "giải" trọn vẹn của máy tính, vvà các engine hiện đại đều đã mạnh hơn bất kỳ kỳ thủ nào — trên SynerWorlds, cờ vua dùng engine Stockfish, còn cờ tướng dùng engine Fairy-Stockfish. Độ phức tạp của cả hai đều đủ sâu cho một đời người khám phá. Cách công bằng nhất để tự trả lời câu hỏi này là chơi thử cả hai: cờ vua trên SynerWorlds có 12 cấp độ máy, còn cờ tướng trên SynerWorlds có 12 cấp độ — chơi miễn phí ngay trên trình duyệt, không cần đăng ký, và bạn sẽ tự cảm nhận được hai thứ "phức tạp" rất khác nhau.

Nguồn số liệu: Shannon, "Programming a Computer for Playing Chess", Philosophical Magazine, 1950; Allis, "Searching for Solutions in Games and Artificial Intelligence", 1994; Yen, Chen, Yang & Hsu, "Computer Chinese Chess", ICGA Journal 27(1), 2004 (số liệu cờ tướng, độ dài ván theo Hsu 1990); Tromp & Österlund, dự án đếm thế cờ vua hợp lệ, 2024. Các ước tính không gian trạng thái của cờ tướng còn chênh lệch lớn giữa các nguồn và được trình bày dưới dạng khoảng trong bài.